- العلاقة التراجعية: un+1 = un × q
- الحد العام: un = up × qn-p
- الوسط الهندسي: b² = a × c
- المجموع: Sn = uالأول × (1 - qعدد الحدود) / (1 - q)
الصورة 10: الدالة اللوغاريتمية النيبرية Ln (Logarithmic Functions)
توضيح: تفصيل شامل لخواص الدالة Ln: مجال التعريف، الخواص الجبرية (تحويل الضرب لجمع)، النهايات الشهيرة للتزايد المقارن، الاشتقاق، والتكامل.
محتوى الصورة كتابة:
- التعريف: دالة معرفة على المجال الموجب تماماً (0, +∞).
- الخواص:
- ln(ab) = ln(a) + ln(b)
- ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
- ln(an) = n × ln(a)
- ln(e) = 1 ، ln(1) = 0
- النهايات:
- عند 0+ تؤول لـ -∞.
- عند +∞ تؤول لـ +∞.
- التزايد المقارن: lim (ln x / x) = 0 (عندما x ← ∞).
- المشتق: (ln u)' = u'/u.
الصورة 11: الدالة الأسية (Exponential Functions)
توضيح: تفصيل شامل لخواص الدالة الأسية ex: مجال التعريف، الخواص الجبرية (تحويل الجمع لضرب)، النهايات الشهيرة، وقواعد الاشتقاق والمعادلات.
محتوى الصورة كتابة:
- التعريف: دالة معرفة على ℝ وتأخذ قيماً موجبة دوماً.
- الخواص:
- ea+b = ea × eb
- e-a = 1 / ea
- (ea)n = ean
- e0 = 1
- النهايات:
- عند -∞ تؤول لـ 0.
- عند +∞ تؤول لـ +∞.
- التزايد المقارن: lim (ex / x) = +∞ (عندما x ← ∞).
- المشتق: (eu)' = u' eu.
الصورة 12: نقطة الانعطاف (Inflection Point)
توضيح: تشرح المفهوم الهندسي لنقطة الانعطاف (تغير التقعر) وكيفية إيجادها حسابياً باستخدام المشتق الثاني أو المشتق الأول، مع مثال وجدول إشارة.
محتوى الصورة كتابة:
- التعريف: نقطة تفصل بين تقعرين مختلفين (مقعر لأعلى ومقعر لأسفل).
- طريقة الإيجاد (المشتق الثاني): نحل المعادلة f''(x) = 0. إذا انعدم المشتق الثاني وغير إشارته عند x₀، فهي نقطة انعطاف.
- التقعر:
- f''(x) > 0 ⇒ المنحنى مقعر لأعلى (وجهه للأعلى).
- f''(x) < 0 ⇒ المنحنى مقعر لأسفل.
الصورة 13: الأعداد المركبة (Complex Numbers)
توضيح: تغطي صور العدد المركب (الجبري، المثلثي، الأسي)، العمليات عليه، الطويلة والعمدة، المرافق، دستور موافر، وحل المعادلات في مجموعة الأعداد المركبة ℂ.
محتوى الصورة كتابة:
- الأشكال:
- الجبري: z = x + iy
- المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ)
- الأسي: z = r eiθ
- الخصائص:
- الطويلة: |z| = √(x² + y²)
- المرافق: z̄ = x - iy
- دستور موافر: (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
- حل المعادلات: إذا كان المميز Δ < 0، الحلان هما z₁,₂ = (-b ± i√-Δ) / 2a.
الصورة 14: الاحتمالات (Probability)
توضيح: تلخص مفاهيم الاحتمالات للصف الثالث الثانوي: قانون الجمع، الاحتمال الشرطي، الحوادث المستقلة، نظرية الاحتمالات الكلية (بايز)، وقانون برنولي (توزيع ثنائي الحد).
محتوى الصورة كتابة:
- قانون الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
- الاستقلال: الحادثان مستقلان إذا كان P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- قانون برنولي (ثنائي الحد): لتجربة تتكرر n مرة باحتمال نجاح p:
P(X=k) = C(n,k) × pk × (1-p)n-k
الصورة 15: إدماج المتتاليات مع الدوال (Sequences & Functions)
توضيح: تعالج نوع التمارين الشائع في البكالوريا حيث تُعرف المتتالية بدالة un+1 = f(un). تشمل التمثيل البياني (خط منصف الربع الأول)، البرهان بالتراجع، دراسة الرتابة، والتقارب نحو نقطة ثابتة.
محتوى الصورة كتابة:
- العلاقة: un+1 = f(un)
- البرهان بالتراجع: 1. نتحقق من صحة الخاصية من أجل n = 0. 2. نفرض صحتها من أجل n. 3. نبرهن صحتها من أجل n+1.
- اتجاه التغير: ندرس إشارة الفرق un+1 - un أو نستنتجها من موقع المنحنى بالنسبة للمستقيم y = x.
- النهاية: إذا كانت المتتالية متقاربة نحو L والدالة مستمرة، فإن L هو حل المعادلة f(L) = L (نقطة تقاطع المنحنى مع y = x).
الصورة 16: الأعداد والحسابيات في Z (Numbers & Arithmetic)
توضيح: تخص شعبة الرياضيات والتقني رياضي، وتشمل القسمة الإقليدية، الموافقات (Modulos)، القاسم المشترك الأكبر، ومبرهنات الحساب (بيزو، غوص).
محتوى الصورة كتابة:
- القسمة الإقليدية: a = bq + r حيث 0 ≤ r < |b|.
- الموافقات: a ≡ b [n] تعني أن n يقسم الفرق a - b.
- مبرهنة بيزو: للمعادلة ax + by = d حلول صحيحة إذا وفقط إذا كان d مضاعفاً لـ PGCD(a,b).
- مبرهنة غوص: إذا كان a يقسم الجداء bc وكان a أولياً مع b، فإن a يقسم c.
الصورة 17: الأعداد الأولية (Prime Numbers)
توضيح: تكملة لمحور الحسابيات، تركز على الأعداد الأولية، كيفية اختبار الأولية، التحليل لعوامل أولية، ومبرهنات مثل فيرما الصغرى وويلسون وتطبيقاتها في التشفير.
محتوى الصورة كتابة:
- التعريف: p عدد أولي إذا كانت قواسمه الموجبة هي 1 و p فقط.
- المبرهنة الأساسية: كل عدد طبيعي أكبر من 1 يكتب وحيداً كجداء عوامل أولية.
- مبرهنة فيرما الصغرى: إذا كان p أولي و a لا يقبل القسمة عليه، فإن ap-1 ≡ 1 [p].
- اختبار الأولية: نقسم العدد n على الأعداد الأولية التي مربعاتها أصغر من أو تساوي n.